UNIVERSIDADE
ESTADUAL DE GOIÁS
CÂMPUS JUSSARA
LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
SAMUEL
LUIZ SOARES
A LINGUAGEM MATEMÁTICA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
JUSSARA – GO
A LINGUAGEM MATEMÁTICA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Monografia apresentada para cumprir a disciplina de Trabalho
de Conclusão de Curso – TCC – do Curso de Licenciatura Plena em Matemática da
Universidade Estadual de Goiás, Câmpus Jussara, sob orientação do Professor Me.
Ricardo Elias Jreige.
JUSSARA
– GO
SAMUEL LUIZ SOARES
LINGUAGEM MATEMÁTICA NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Monografia
aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Licenciado em Matemática
na Universidade Estadual de Goiás – UEG, pela Banca Examinadora:
________________________________________________________
Orientador:
Me. Ricardo Elias Jreige
_______________________________________________________
Examinador:
Me. Deusaguimar Divino da Silva
_______________________________________________________
Examinador:
Me. Helias Assunção Freitas
JUSSARA, 23 DE OUTUBRO DE 2019
Agradeço ao Senhor Jesus Cristo pela sua bondade e
misericórdia na minha vida. À família toda, principalmente meus oito irmãos,
cunhados e sobrinhos que sempre me deu forças. Aos professores que foram amigos
ao longo desses anos que permaneci estudando.
Com muito amor e carinho agradeço a minha mui digna
esposa Cássia Régia Silva Soares, que amo, e fora companheira, incentivadora em
todos os momentos para que eu terminasse a Faculdade. Também os meus dois
filhos, Pedro Lucas Luiz Ferreira Soares Camelo Gonçalves Vieira, 12 anos e Ana
Bela Ferreira Soares Camelo Gonsalves Vieira. Grato a todos.
O trabalho
realizado partiu da busca por respostas quando o assunto se tornara resolução
de problemas. A pesquisa consiste em caráter qualitativo bibliográfico e
compete alinhar o objetivo de conhecer a linguagem matemática e sua importância
na formação do conteúdo matemático para a resolução de problemas, tornou-se
aceitável pesquisar o método heurístico de Polya, afim de encontrar melhor
esclarecimento quanto à prática de resolução de situações encontradas no dia a
dia dos ambientes escolares e da vida particular das pessoas. A partir da
realidade que se vê nos estudantes de matemática tanto no colégio quanto na universidade,
o texto apresenta uma das maneiras que podem ser utilizadas para resolver
problemas. Assim, a ideia fora desenvolvida através das páginas desse texto com
a finalidade de mostrar os métodos de resolução de problemas através de suas
etapas: compreensão, elaboração de um plano de resolução, execução do plano e
retrospectiva. A pesquisa foi realizada no ambiente de estudos matemáticos, em
que os estudantes sempre encontram certa dificuldade na resolução de problemas.
Foi mostrado alguns tipos de problemas e como eles são entendidos pelos alunos,
dessa maneira cada problema a ser resolvido é visto como que tendo certo grau
de dificuldade, mas a contribuição adquirida na resolução, torna produtora do
aprendizado do conteúdo matemático e
habilita o aluno para a prática efetiva de melhor participação nas aulas de
matemática. É notado que a pesquisa desenvolvida sobre a linguagem matemática
na resolução de problemas culminou na observação de como organizar as ideias
diante de um problema proposto, assim sua contribuição é satisfatória
melhorando a interpretação, tradução e compreensão de um problema.
PALAVRAS-CHAVE:
Linguagem. Problema. Compreensão. Resolução.
CAPÍTULO 1 UMA
ANÁLISE ACERCA DA LINGUAGEM MATEMÁTICA
1.1 A linguagem matemática no dia a dia
1.2 Um exemplo de linguagem matemática com
álgebra
1.3 Em busca da
solução do problema
1.4.1 Exercícios de reconhecimento
1.4.2 Exercícios de Algoritmos
CAPÍTULO 2 COMO RESOLVER PROBLEMAS
2.1 Etapas para
a Resolução de Problemas
2.1.1 Primeira etapa: Compreensão do problema
2.1.2 Estabelecimento de um plano
CAPÍTULO 3 CONTRIBUIÇÕES DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
3.1 Fazer o
aluno pensar produtivamente
3.2 Desenvolver
o raciocínio do aluno
3.3 Ensinar o
aluno a enfrentar situações novas
3.4 Dar ao aluno
a oportunidade de se envolver com as aplicações da Matemática
3.5 Tornar as
aulas de Matemática mais interessantes e desafiadoras
3.6 Equipar o
aluno com estratégias para resolver problemas
3.7 Dar uma boa
base matemática às pessoas
A
partir da realidade que existe dentro das salas de aulas de Matemática, vivenciadas
ao longo dos nossos estudos e também dos relatos contidos em artigos e fóruns
da mesma, nota-se a importância de considerar a Resolução de Problemas como
ferramenta para aprimorar o estudo matemático, a fim de alcançar a aprendizagem
dos alunos nesta disciplina.
Neste
olhar analítico, cabe trazer para mais perto da prática, algum método que
auxilie nas resoluções de situações que exijam raciocínio e conhecimentos
matemáticos. A base da nossa descrição além de envolver a pesquisa em trabalhos
específicos que tratam da linguagem matemática na resolução de problemas,
também particulariza a obra de George Polya (2006), pois nela está a composição
exposta de seu método, que divide de forma didática em compreender, planejar,
executar e verificar, a fim de que sob a confiança, paciência e habilidade
culminem na resolução de problemas.
A
pesquisa possui caráter qualitativo, de natureza bibliográfica. No texto a
busca pela análise e aplicação das ideias dos autores não foge da necessidade
de falar sobre a linguagem matemática no âmbito da educação escolar, nas
disciplinas de Matemática, desde as séries iniciais. Cada ideia pedagógica que
compõe a história da Educação no Brasil, como a nova escola, que recebe também
o novo professor, tem a missão de ensinar matemática através da presença
insubstituível do professor porque este é mediador entre o conhecimento e o
aluno.
A
lógica é tida como desafiadora, quando o assunto é falado nas mesas de
conversas abertas por populares e por rodinhas de amigos. As brincadeiras,
perguntas curiosas e desafios do tipo quebra-cabeças montam a longa redação de
temas escolares que vagam pelo cotidiano de todos. Como exemplo de perguntas em
desafios na roda de mesa, está citada a do tijolo, no qual se pergunta: “Um
tijolo pesa
Dessa
maneira, o objetivo do trabalho de pesquisa é mostrar que independente da
escolha de um tipo de problema, o conhecimento matemático se faz necessário e,
também, utilizar o método heurístico de Polya (2006) na resolução destes
problemas. Uma pessoa normal, que não tenha comprometimento
intelectual, não é completa longe da matemática, pois ela está em toda parte.
Para
a realização de qualquer tarefa sempre haverá a necessidade de utilizá-la.
Assim, podemos observar o contexto dessa pesquisa, que é aplicar o conhecimento
matemático nas situações do dia a dia. A transição de negócios, as
transformações da sociedade o cotidiano das pessoas cada vez mais dependente do
uso da Matemática se faz absolutamente necessário relatar esse trabalho de cada
ser social com a matemática e seus conhecimentos. Logo, a resolução de
problemas pelo método de Polya será considerada, com muita emergência, quando o
assunto for resolver situações, cuja linguagem matemática tratar da exigência
do conhecimento matemático.
Assim
sendo, a formação do texto dessa pesquisa, insere uma breve análise da
linguagem matemática na resolução de problemas. Esta submete aos Parâmetros
Curriculares Nacionais, como relacionadas na prática do ensino matemático. A
resolução de problemas, através do Método de Polya, em que apresentaremos as
quatro divisões elencadas por ele, e fazendo apontamentos em cada uma delas é
uma busca de como utilizar o conhecimento matemático na solução das mesmas.
No entanto, o porquê aprender matemática
sempre é tido como costume no convívio doméstico, e na escola sua importância é
bastante discutida em reuniões da coordenação com educadores e ao receber pais
de alunos na unidade escolar. Faz parte desse texto a discursiva sobre as
contribuições da resolução de problemas, que pode ser percebida no viver diário
de cada indivíduo que lida com o estudo matemático, tais como: engenheiros,
médicos, comerciantes e pessoas que executam qualquer tarefa em casa. É salutar
a condição de resolver um problema para adquirir benefícios que lhe farão
intelectualmente capaz de raciocinar e sobressair na competição tão real do dia
a dia.
Finalmente,
resolver problemas é uma arte, nas palavras de Polya (2006). E a nossa busca
tem como objetivo a compreensão da linguagem moderna, mas com enfoque na linguagem
matemática. Esta é encontrada nos textos matemáticos que deve ser traduzida e
interpretada pelo estudante.
CAPÍTULO 1 UMA
ANÁLISE ACERCA DA LINGUAGEM MATEMÁTICA
A
Matemática possui diversos temas que podem ser contextualizados com o cotidiano
das pessoas. Assim, encontrar uma situação problema nesse universo científico é
de extrema facilidade, no entanto, apenas conhecimento do conteúdo da situação
não levará à resolução. É importante o
conhecimento matemático. Qual passo utilizará para compreender o problema e
como utilizará esses passos de maneira adequada para alcançar as soluções?
Nós
podemos encontrar tipos de perguntas como essas, feitas por qualquer estudante
ou qualquer pessoa. Dessa maneira, o procedimento depende da orientação que o
estudante recebeu. A linguagem adquirida no início da nossa existência está
condicionada às fases do desenvolvimento humano e a cada dia aprendemos
comunicar com as pessoas.
A atividade
linguística da criança é central em todo o processo e leva progressivamente à
incorporação consciente das regras de funcionamento do sistema linguístico.
[...] o desenvolvimento da linguagem na criança se faz pela utilização do
código para realizar as funções de linguagem que são importantes e
significativas para ela. (BAGNO[1], 2002,
p.187).
Diante
desta citação, a linguagem é importante para a aprendizagem, seja em qualquer
área do conhecimento. Na Matemática existe uma linguagem que deve ser entendida
e usada, pois ela é fundamental nos estudos, principalmente nas resoluções de
problemas.
No
campo da Educação Escolar encontramos a necessidade de utilizar métodos que
auxiliem na aprendizagem dos alunos. Os alunos recebem informações do professor
e para que eles as processem é necessário que façam exercícios para
memorizá-los.
O professor é mediador entre o conhecimento e
o aluno. Embora, os educandos já conheçam como fazer as operações, será
necessário o conhecimento da linguagem matemática, assim, no caso da resolução
de problemas que não é uma tarefa fácil porque exige conhecimento matemático
para absorver as informações que estão contidas na situação e organizar os
dados do problema.
Uma
aula desenvolvida através de metodologia adequada e formada por objetivos
concretos será produtiva se houver participação dos aprendizes. Mesmo que essa
aula foi bem elaborada não significa que seu objetivo seja alcançado. É comum
nas escolas, alunos relatarem que não entenderam nada no final de uma aula de Matemática.
O professor ministrou a aula com eficiência, mas algo ficou impedindo a
comunicação. As barreiras que impedem a comunicação podem estar presentes numa
sala de aula através do barulho ou de qualquer outra coisa que promova a
descontração dos alunos. O docente gasta certo tempo da aula em suas
explicações, mas consome parte deste tempo chamando a atenção dos seus alunos.
Então,
as explicações estavam de acordo com a metodologia de ensino e prender a
atenção dos alunos é um objeto muito importante no planejamento do professor.
Assim, prender a atenção do aluno é um objetivo que deve ser utilizado no
momento da aula e mudado de acordo com a situação vivida pelos alunos, à
realidade deles fora da escola, como usar exemplos de atividades do seu dia a dia.
A
utilização das quatro operações ainda é elemento discutido nas reuniões de
professores de matemática. Trabalhando em sala de aula com Matemática,
percebemos que os alunos sentem dificuldade em operar com propriedades da
adição, multiplicação, subtração e divisão. Ainda continua após cada explicação
de conteúdo a mesma frase dos alunos com dificuldades: “eu não entendi nada”.
Nesse
trabalho de pesquisa interessamos encontrar as experiências na resolução de
problemas, que é uma tarefa constante em qualquer nível escolar e no dia a dia
de qualquer pessoa na rua. A importância de saber resolver um problema recai
sobre a condição do pensar lógico, contudo, inclui nessa condição o
conhecimento da linguagem matemática presente nos exercícios ou situações problemas.
1.1 A linguagem matemática no dia a dia
A
Matemática sempre esteve presente nas sociedades ao longo da existência humana,
ainda que na antiguidade não houvesse um conhecimento matemático que temos
hoje, no entanto, quando o homem passou a desenvolver habilidades mercantis, foi
necessário utilizar cálculos em diversas situações, como no trabalho, na
escola, no convívio doméstico para resolver algum tipo de problema. As
situações do cotidiano podem ser compreendidas ou contadas no meio social e
vista no universo cultural que ela está inserida. Mas, existem situações que
precisam ser acompanhadas de maneira analítica, adquirindo a compreensão
através dos elementos que auxiliam na aprendizagem em matemática.
Os
problemas podem ser fáceis ou difíceis de encontrar as soluções e, quando
dizemos assim, estamos falando do grau de dificuldade, no entanto, eles poderão
ser entendidos e solucionados utilizando a linguagem adequada.
O
cotidiano de uma pessoa é cheio de situações que envolvem matemática, como a
ida às compras num supermercado, num shopping, numa loja de materiais para
construção, no banco. Segundo Dante[2] (2007, p.15):
A
linguagem matemática possui características geométricas, algébricas,
aritméticas, e nessas temáticas encontramos diversos tipos de problemas. A
importância do conhecimento prático, das indagações e da lógica, faz parte da
construção do pensamento diante de qualquer problema proposto. Sobre a
generalidade do caso especificado, Polya[3]
(2006, p.2) afirma que “O nosso problema pode ser algébrico ou geométrico,
matemático ou não, um problema científico importante ou um mero enigma. Não há
diferença, as indagações fazem sentido e podem auxiliar-nos a resolver o
problema”.
É
elementar utilizar a linguagem matemática em assuntos que envolvem fatos de
natureza exata, pois o entendimento parte da comunicação realizada, e nesse
caso usar a mesma linguagem resultaria na compreensão do texto. Entender um
problema depende do conhecimento matemático, vemos o mesmo como acontece na
vida de uma criança, ela saberá falar as primeiras palavras imediatamente após
ter conhecimento dos objetos e coisas ao seu redor. A criança liga as palavras
ao objeto.
[...] essa via
genética, consequentemente a única possível do ponto de vista científico, para
a explicação de como surgem, no processo de desenvolvimento, a intenção, a inteligibilidade da linguagem, e como “a orientação para um determinado
sentido” surge da orientação do sinal referencial (do gesto, da primeira
palavra) voltado para o objeto, em suma, da orientação afetiva centrada no
objeto. (VYGOTSKY[4],
2001, p.106-107).
Tratando
da língua no contexto da aprendizagem, poderemos notar a importância da língua
materna. A linguagem das crianças se desenvolve a partir de vários fatores,
como cita alguns mais importantes.
O
desenvolvimento da linguagem nas crianças de idade pré-escolar não repousa de
modo nenhum na compreensão ou na memorização de regras morfológicas ou
morfossintáticas explícitas. As pesquisas sobre esta questão indicam que certo
número de fatores concorre para este desenvolvimento. Aqui estão alguns dos
mais importantes:
- Presença da
linguagem no meio ambiente;
- Estímulo e
reforço por parte dos adultos;
- Atividades
linguísticas numerosas da parte da criança;
- Atividades
linguísticas motivadas por necessidades e funções autênticas da criança.
(BAGNO, 2002, p.186-187).
Assim sendo, a utilização da língua na
comunicação para o estudante e conhecer os signos da linguagem matemática
trarão maior confiança diante de um desafio matemático. Referimos à linguagem,
tendo em vista a informação do universo operacional dentro da Matemática, que
configurados leva à aprendizagem. O conhecimento que o aluno tem de uma
situação problema são adquiridos através das explicações do professor, a
aprendizagem acontece quando o aluno recebe o ensino e pratica.
Há dois
objetivos que o professor pode ter em vista ao dirigir a seus alunos uma
indagação ou uma sugestão da lista: primeiro, auxiliá-lo a resolver o problema
que lhe é apresentado; segundo, desenvolver no estudante a capacidade de
resolver futuros problemas por si próprio. (POLYA, 2006, p.3).
Conhecendo
a linguagem matemática e aplicando a resolução do problema, o estudo será
produtivo e chegaremos à solução do problema. Atividades propostas em salas de
aulas sejam as do livro didático ou de outras fontes tem objetivos pedagógicos,
pois foi elaborada com os conteúdos estudados. Uma situação envolvendo
conceitos algébricos tem certo grau de dificuldade, assim como qualquer outra
atividade. Qualquer conteúdo matemático tem seu grau de dificuldade, não sendo
possível desprezar nenhum deles. A linguagem moderna é usada nas aulas de
matemática, sendo assim, os alunos aprenderão fazer uso dela enquanto estudam.
Embora, algum dos alunos não saiba identificar qual tipo de linguagem está
presente no texto, mas na prática poderá ir conhecendo e até fazer uso dela.
1.2 Um exemplo de linguagem matemática com álgebra
Vejamos
uma situação-problema em que queremos analisar a linguagem matemática: Num
estacionamento há 26 veículos entre carros e motos. Sabendo que o número de
rodas montadas sob os carros e motos é 92, quantos são carros e quantos são
motos?
Vamos
olhar para o problema e, contudo, utilizar algum método para sua resolução.
Podemos interessar somente pela identificação da linguagem matemática que
encontramos no texto. De acordo com Bianconi[5]
(2002, p.1), “Em matemática,
todas as palavras têm um sentido preciso. Por isso, faz-se necessário que
conheçamos seus significados”.
O texto matemático possui ideias lógicas, nele
estão inseridas informações, cuja linguagem muitas vezes não pode ser identificada na primeira leitura. Temos hábitos de
olhar um texto e fazer uma primeira leitura com a velocidade rápida,
principalmente quando o tempo está “apertado”. No entanto, para compreender a
comunicação que é transmitida a nós, devemos traduzir a ideia e interpretá-la
através da coleta dos dados e análise das informações descritas.
Uma segunda leitura tornará mais clara à informação
contida no texto. Mas os dizeres lógicos, números que expressam a profundidade
da situação problematizada e palavras, cujos sinônimos são diversos, induz o
estudante aos famosos “chutes” e às predileções que juntas, trazem confusão na
mente. Além dessas questões que são epistemológicas, surge a necessidade da
terceira leitura, que será realizada e obterá os seguintes resultados.
Primeiro, entenderá o problema de maneira lógica, mas para que isso aconteça o
estudante fora orientado anteriormente e absorveu as explicações do professor
logo, conclui que o estudante compreendeu o texto e soube interpretar as
informações. Mas não foi capaz de conhecer a linguagem matemática e utilizá-la adequadamente.
Em segundo momento, o estudante terminará a leitura
do texto e essa lhe tornará mais distante da compreensão. Este não será capaz
de ver nenhuma informação, assim desistirá ou optará por criar qualquer solução
para o problema, o que será impróprio e errado. Costumeiramente acontece dessa
maneira com o leitor como foi relatado anteriormente, mas extrair a informação
do texto necessita, junto à leitura, o conhecimento do assunto que
possibilitará a interpretação da forma correta.
A linguagem algébrica quando compreendida dá
significado e propicia mais clareza ao problema. Quando usar essa linguagem?
Depende da natureza da situação. No espaço escolar em que o aluno está
diretamente relacionado com a Matemática, esse tipo de linguagem deve ser aprendido.
Desde os anos iniciais escolares, podemos observar que os alunos participam de
exposições de conteúdos matemáticos.
Diante disso, os professores são profissionais da
educação, cuja formação acontece continuamente e isso contribui para melhorar a
aprendizagem. No entanto, a realidade de cada aluno nesse aprender matemática é
particular, pois nem todos tem habilidade quando o assunto é o pensar lógico.
A importância da linguagem matemática utilizada na
resolução do problema está na interpretação da situação e a tradução em dados
que potencializa a conclusão do trabalho. Segundo Polya (2006, p.151), “o
problema pode ter várias incógnitas, ou a condicionante pode ter diversas
partes que devam ser consideradas separadamente, ou pode ser conveniente considerar
algum dado isolado”.
Nessa construção para a resolução, é fundamental
trabalhar com as incógnitas ou variáveis identificadas na situação, associando
aos dados coletados. Logo, tendo os dados separados e cientes das incógnitas,
poderá relaciona-los e assim descobrir os valores de cada símbolo representado,
ao mesmo tempo ver o resultado de acordo com a elaboração da situação para cada
incógnita que representa cada substantivo do problema em questão. Assim
concluímos com os dizeres de Polya (2006, p.151), “por isso podemos usar
diversas variantes das nossas indagações, tais como: Quais são as incógnitas?
Qual é o primeiro dado? Qual é o segundo dado?”.
1.3
Em busca da solução do problema
Para encontrar a solução do problema, passaremos
por um caminho que não é longo, mas às suas margens encontraremos amontoados de
informações as quais são para confundir o nosso andar. No entanto, esse trajeto
é bem sinalizado, cujos códigos, permitirão que permaneçamos na estrada e que
avancemos em direção ao alvo. O saber está ligado intimamente ao aprender, pois
ninguém saberá algo sem antes aprender primeiro. Nesse ambiente da
aprendizagem, o aluno obterá êxito nos estudos matemáticos. Como acima fora
afirmado que o professor é mediador entre o conhecimento e o educando, a
ligação tripla, aluno/professor/conhecimento, serão os agentes caminhantes na
busca da solução do problema.
Nesse trabalho, falando sobre a linguagem
matemática, não deixaremos de apresentar passos que são essenciais na resolução
de problemas, no entanto, queremos ater inicialmente falando da suma em
questões matemáticas, que é a linguagem utilizada nos exercícios, problemas,
definições, proposições, lemas contidos no universo da Matemática.
O estudante diante de uma situação problema fará a
análise das informações tendo o foco na solução. Após encontrar a solução, todo
êxito será acompanhado através da retrospectiva, assim, tirar a prova real para
confirmar que o encontrado satisfaz o que fora solicitado. No espaço escolar,
na disciplina de Matemática, em que os alunos são direcionados para atividades
em salas de aulas, tarefas de casa e outros trabalhos, eles são acompanhados
pelo professor titular, pelos pais ou responsáveis. Essa jornada estudantil é
sujeita às condições fora da escola, enfrentadas pelos alunos. Como é sua vida
na sociedade? Que tipo de família ele tem? E os outros aspectos sociais que ele
está inserido?
Partindo da fisiologia do problema e todas as
ligações envolvidas nele, deparamos com a sua linguagem, o seu conteúdo e os
passos elementares para sua resolução. Independente do grau de dificuldade da
situação haverá uma linguagem que necessariamente deve ser entendida para que o
trabalho de resolução suceda positivamente até encontrar a solução.
Vamos imaginar as atividades envolvendo problemas
para alunos de 1ª série do Ensino Fundamental, nesse contexto, poderíamos
pensar em uma situação, em que fosse bem próximo do convívio da criança, também
uma situação que causasse maior interesse pelo contexto, como fatos em que eles
próprios poderiam ser autores. A elaboração desse problema conteria informações
de natureza lúdica, portanto a linguagem dele não é desprezada, pois será
preciso o conhecimento aritmético para achar a sua solução.
Dessa maneira, vamos presenciar a linguagem matemática
em qualquer nível de problema, tanto para as séries iniciais do Ensino
Fundamental quanto para o Ensino Médio e Superior, ou seja, em qualquer
situação envolvendo cálculos matemáticos, estaremos diante da linguagem
matemática. Assim, somos levados a conhecer os vários tipos de problemas e um
deles é o problema-padrão:
Sua resolução envolve a aplicação direta de um ou mais algoritmos
anteriormente aprendidos e não exige qualquer estratégia. São os tradicionais
problemas de final de capítulo nos livros didáticos. A solução do problema já
está contida no próprio enunciado, e a tarefa básica é transformar a linguagem
usual em linguagem matemática, identificando as operações ou algoritmos
necessários para resolvê-lo. (DANTE, 2007, p.17).
Os vários tipos de problemas são seguidos por uma
maneira particular de resolução para cada um, mas encontrar a solução desses
problemas será a partir do conhecimento da linguagem básica transformando em
linguagem matemática.
Sabendo da importância da linguagem matemática na
resolução de problemas, seguiremos identificando alguns tipos de problemas que
são elaborados no dia a dia das pessoas e nas aulas de Matemática das escolas
do mundo todo. Segundo Dante (2007), há vários tipos de problemas, e ele define
e exemplifica cada um deles para melhor informar o leitor.
Os tipos de problemas listados por este matemático
são: Exercícios de reconhecimento, Exercícios de algoritmos, Problemas-padrão
(simples e compostos), Problemas-processo ou heurísticos, Problemas de
aplicação e Problemas de quebra-cabeça. É interessante analisar a linguagem
matemática em alguns desses tipos de problemas citados, no entanto, o objetivo
será conhecer a linguagem básica nos enunciados dos problemas e fazer a
transformação para a linguagem matemática.
1.4.1 Exercícios de reconhecimento
Iniciaremos com um breve enfoque sobre esse tipo de
problema, no entanto, usaremos exemplos do conhecimento comum dos alunos. Dante
(2007, p.16), diz que o objetivo desse tipo de problema: “é fazer com que o
aluno reconheça, identifique ou lembre um conceito, um fato específico, uma
definição, uma propriedade etc.”. Exemplo de exercício de reconhecimento: “Que propriedade da adição de números
naturais está sendo usada ao se escrever
Nesse tipo de exercício o aluno é levado a usar o
conhecimento que adquiriu através das explicações do professor, e da prática de
seus estudos em Matemática. Que linguagem o texto do exercício utiliza para
informar o aluno? Embora, os alunos conheçam outras linguagens não será
suficiente para compreender o exercício se não souber lidar com a linguagem
matemática. Encontramos nesse exercício um modo de linguagem que requer o
conhecimento aprendido em sala de aula.
Sempre será necessário o aluno conhecer a linguagem matemática no
problema, pois, isso lhe ajudará na comunicação e compreensão do texto. O
desafio tem objetivos que possam parecer difíceis, no entanto, eles esclarecem
a forma como o trabalho deve ser realizado. As pessoas que resolvem algum tipo
de desafio possuem conhecimento matemático e deve pelo menos saber usar o
conhecimento lógico para que não desanime tão logo, por achar o desafio
estranho e sem sentido.
1.4.2 Exercícios de Algoritmos
Temos
visto esses tipos de exercícios em nossa vida escolar, nas aulas de Matemática.
É bastante trabalhado nas aulas por apresentar importância elementar e ocorre
no primeiro contato que o aluno tem do conteúdo exposto pelo professor. O
exemplo resolvido no quadro giz e feito passo a passo se identifica com esse
tipo de exercício. Conforme Dante (2007, p. 16), exercícios de algoritmos “são
aqueles que podem ser resolvidos passo a passo”.
Exemplo de exercício de algoritmo: Calcule o valor de
O dia
a dia das pessoas está cheio de situações matemáticas. Podemos enumerar vários
fatos que envolvem matemática. No entanto, a maioria das pessoas não observam
como isso acontece, e nem por isso a vida se torna difícil, como ouvimos nos casos
populares acerca da vida das pessoas. De acordo com Dante (2007, p.20),
“problemas de aplicação são aqueles que retratam situações reais do dia a dia e
que exigem o uso da Matemática para serem resolvidos. São também chamados de
situações problema”.
Notaremos
um exemplo de situação problema: Vavá
recebeu seu salário e pagou as contas de água, luz e telefone. Sabe-se que a
conta de água era
A situação exemplificada possui a linguagem
matemática notada nos termos a serem encontrados para a solução. O conhecimento
de álgebra será fundamental na resolução desse problema. Trata-se de uma
situação do cotidiano, com uma linguagem comercial e enfoque cultural das
pessoas na sociedade. Assim sendo, a linguagem matemática observada está
explícita e apresenta o problema com dados identificados, possuindo valores
numéricos e outros desconhecidos.
Através
da exemplificação das situações no contexto da linguagem e símbolos
matemáticos, citados nesse texto, abre discussão para análise no campo das
ideias de ensino e aprendizagem matemática. Entender como isso ocorre, é
fundamental para a defesa de que não há conhecimento do contexto sem a
compreensão da linguagem do texto. Os problemas de natureza lógica estão
emersos no campo das situações do cotidiano das pessoas, no entanto, a
necessidade de realizar a tradução desejável do texto continua presente até encontrar
a solução.
A
linguagem matemática na resolução de problemas deve ser encontrada dentro do
próprio enunciado da situação que, de acordo com os Parâmetros Curriculares
Nacionais – PCNs (1998, p.75), reforça a necessidade de haver uma “valorização
e uso da linguagem matemática para expressar-se com clareza, precisão e
concisão”. Também encontramos na Base Nacional Comum Curricular – BNCC (2017,
p.298) a necessidade de se trabalhar esta linguagem no Ensino Fundamental –
Anos finais, tais como: unidades temáticas, objetos de conhecimento e
habilidades, que “nessa
fase, precisa ser destacada
a importância da comunicação em linguagem matemática com o uso da linguagem
simbólica, da representação e da argumentação”.
O conhecimento matemático deve
prevalecer para que o
desenvolvimento dessas atividades culmine de maneira satisfatória, entendendo a
linguagem ali constante de forma a alcançar a solução para o problema. Um
problema pode ser elaborado contendo retórica que alcance níveis intelectuais
incomuns do convívio de uma sociedade local, mas possuirá denotação entendível
para os estudantes e pesquisadores da área da Matemática.
Desse modo, o
ensino de Álgebra precisa continuar garantindo que os alunos trabalhem com
problemas, que lhes permitam dar significado à linguagem e às ideias
matemáticas. Ao se proporem situações-problema bastante diversificadas, o aluno
poderá reconhecer diferentes funções de Álgebra (ao resolver problemas difíceis
do ponto de vista aritmético, ao modelizar, generalizar e demonstrar
propriedades e fórmulas, estabelecer relações entre grandezas). (PCNs, 1998
p.84).
Segundo
a BNCC (2017), ainda que a Matemática seja uma ciência hipotética e dedutiva,
pois sua demonstração está posta sobre um sistema de axiomas e postulados, é fundamental
a importância da experimentação através de algum método heurístico na
aprendizagem.
Apesar
de a Matemática ser, por excelência, uma ciência hipotético-dedutiva, porque suas demonstrações se apoiam sobre um
sistema de axiomas e postulados, é de fundamental importância também considerar
o papel heurístico das experimentações na aprendizagem da Matemática. (BNCC,
2017 p.265).
No currículo escolar, a leitura e a matemática
fazem parte ilustre no eixo do ensino escolar. O foco é alcançar melhores
resultados nessas áreas, e colaborar para a formação da juventude. Nesse
contexto do ensino matemático nas escolas, podemos relatar aqui qual a
preocupação do aluno quando não sabe resolver um problema.
Assim, é
fundamental que os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação, sejam
eles provas, trabalhos, registros das atitudes dos alunos, forneçam ao
professor informações sobre as competências de cada aluno em resolver
problemas, em utilizar a linguagem matemática adequadamente para comunicar suas
ideias, em desenvolver raciocínios e análises e em integrar todos esses
aspectos no seu conhecimento matemático. (PCNs, 1998 p.54, 55).
Os alunos devem ter a capacidade de
relacionar o mundo de situações que os rodeia e representa-lo através de tabelas,
figuras e esquemas. Assim será muito confortável para o aluno, utilizar de
recursos reais na resolução de problemas.
[…]
precisa garantir que os alunos relacionem observações empíricas do mundo real a representações (tabelas, figuras e
esquemas) e associem essas representações a uma atividade matemática (conceitos
e propriedades), fazendo induções e conjecturas. Assim, espera-se que eles
desenvolvam a capacidade de identificar oportunidades de utilização da
matemática para resolver problemas, aplicando conceitos, procedimentos e
resultados para obter soluções e interpretá-las segundo os contextos das
situações. (BNCC, 2017, p.265).
Nas aulas de Matemática o professor auxilia o aluno
a compreender o problema, e nem todos os educandos conhecem a linguagem
matemática e como utilizar as ferramentas necessárias para a resolução de um
problema. Mas, a maioria desses alunos possui deficiência na leitura. Não
entende os enunciados ou não faz leitura do texto proposto. Dessa maneira, a
falta de leitura funciona como o medidor do rendimento. Sem a leitura é
impossível entender o que o texto diz. Sendo assim, ele não conseguirá
interpretar a ideia do problema e nem saberá comunicar utilizando a linguagem
matemática.
A dificuldade no uso da linguagem matemática, isto
é, compreender os enunciados matemáticos é encontrada logo nos primeiros
contatos que a criança tem com o ambiente escolar ou da educação doméstica que
ela recebe. A aprendizagem da criança se desenvolve, mas restringe nas áreas
matemáticas. As crianças tratarão a Matemática como algo difícil, o que diminui
a confiança na compreensão da linguagem matemática.
Segundo Bagno (2002, p.194), “em sala de aula, a
linguagem, além de ser um objeto e um objetivo de aprendizagem, constitui um
meio privilegiado de aprendizagem”. Assim, podemos observar a linguagem
matemática a partir da importância de poder resolver um problema, porque sem a
compreensão do significado dos códigos linguísticos presentes na comunicação,
tornam fragilizadas as ações para encontrar a solução. Verificar o enunciado da
questão é um objetivo que relaciona com a informação do texto e aponta para
caminhos certos no processo de resolução de problemas.
Fazendo a leitura do problema encontraremos
informações que ele nos passa, será importante quando finalmente o leitor
descobrir o que o problema está pedindo. A partir dessa leitura analítica,
encontrará entradas para comunicar com o que o texto expõe. O aluno que utiliza
a linguagem matemática entrará nesse diálogo partindo da língua normal. Assim,
traduzir e interpretar o problema partirá do conhecimento da linguagem
Matemática que ele possui.
Segundo Polya (2006, p.5), “primeiro que tudo, o
enunciado verbal do problema precisa ficar bem entendido”. Essa deve ser a
preocupação do aluno ou de qualquer pessoa que quiser resolver um problema,
entender o enunciado. Mas, de acordo com ele, “o aluno precisa compreender o
problema, mas não só isto: deve também desejar resolvê-lo”.
Tomando como exemplo nessa exposição, o enunciado
do problema e o entendimento do aluno. De acordo com Polya (2006, p.5), “o
problema deve ser bem escolhido, nem muito difícil nem muito fácil, natural e
interessante”. Embora, as pessoas que tentam resolver um problema, mas não
conseguem encontrar a solução, se acham embaraçados, a princípio, tentam
encontrar o caminho através da lógica, por não compreender a linguagem
matemática. A resolução de uma situação depende da familiaridade com a língua
da composição desse problema, que é o ponto de contato nos passos que serão
utilizados nessa resolução.
Vemos casos reais de acadêmicos de Cursos de
Matemática em Licenciaturas, pronunciarem termos próprios da Matemática,
faltando com a maneira correta de falar. Este fato não é falha do professor,
pois nesse nível é frequente o uso de palavras e termos matemáticos ditos pelos
professores. Ao longo da jornada de estudos, os alunos permanecem presos a uma
linguagem normal, excluindo do seu vocabulário a linguagem matemática.
Temos exemplos de como a maioria dos alunos tratam
a pronúncia desses termos: Há alguns que falam “um número ‘vezes’ outro” ao
invés de “o produto de dois números”; “menos” ao invés de “diferença” ou
“subtração”. Outros exemplos, como valores algébricos, incógnitas, variáveis,
abscissas, ordenadas, módulo de um número, possui a forma correta, no entanto,
os alunos falam costumeiramente sem notar a importância do tratamento da língua
nas relações que envolvem matemática. Também expressões tais como, “cortar o
número”, “passar pro outro lado da igualdade”, “tirar a raiz”, estão
praticamente no cotidiano da fala dos alunos que estudam Matemática.
No próximo capítulo trataremos da resolução de
problemas com ênfase na linguagem matemática, citando exemplos de algumas
situações problemas. O depoimento para esses exemplos, além da linguagem
utilizada, basearemos na obra de George Polya. O objetivo da escritura desse
livro é resolver problemas utilizando métodos eficazes, assim é denominado,
como o próprio título expressa, “a arte de resolver problemas”. Seguiremos o
Método Heurístico de Polya (2006), bem como as definições importantes que são
atribuídas no processo do discurso da resolução.
Os problemas que encontramos nos livros didáticos,
nas atividades de salas de aulas do Curso de Matemática ou nos concursos, estão
saturados de informações coerentes com o conteúdo matemático que pertence.
Problemas algébricos, situações que utilizam sequência numérica, probabilidade
e até mesmo limites, derivadas e integrais são achados nas listas de exercícios
propostos das aulas de Matemática. No entanto, o sucesso nas resoluções será
efetivado se a compreensão se der pela prática correta do método e do
conhecimento da linguagem matemática.
A atividade de resolver problemas existe desde que
o homem passou a desenvolver tarefas no seu dia a dia que exigia organização e
cálculos. O homem primitivo era nomadista, isto é, possuía o modo de vida
nômade, dessa maneira, caçava e coletava frutos e outros alimentos para sua
sobrevivência. Esse movimento diário na sua existência dá-nos entender que eles
eram seres que se locomoviam e sofriam constantes mudanças relacionadas ao seu
modo de vida. As descobertas traziam novidades e a forma de envolver com elas
através de procedimentos que dependia da habilidade e de estratégias, como as
utilizadas na caça e pesca, seriam de algum modo um agir matemático.
Ninguém
sabe quando começou a matemática. O que sabemos é que toda civilização que desenvolveu
a escrita também mostra evidências de algum nível de conhecimento matemático.
Nomes para números e formas e ideias básicas sobre a contagem e operações
aritméticas parecem ser parte da herança comum da humanidade em toda parte.
Antropólogos acharam muitos objetos pré-históricos que podem, talvez, ser
interpretados como matemáticos. Os mais antigos de tais objetos foram
encontrados na África e datam de 37 mil anos. Eles mostram que homens e
mulheres estiveram engajados em atividades matemáticas por muito tempo.
Antropólogos modernos e estudantes de etnomatemática também observam que muitas
culturas do mundo mostram profunda percepção de forma e quantidade, e
frequentemente podem fazer coisas bem sofisticadas e difíceis, que exigem algum
entendimento matemático – que vão de estabelecer uma base retangular para um
edifício e inventar padrões complicados e planos para tecidos, cestos e outras
atividades artesanais. (BERLINGHOFF[6],
GOUVÊA[7], 2010, p.6-7).
Nas civilizações antigas, como as babilônicas e egípcias,
em que a sociedade estava organizada, encontramos registros de atividades do
pensar matemática. O trabalho consistia em operações ardorosas e braçais,
convinha a necessidade de utilizar ferramentas manuais, no entanto, o
conhecimento matemático, como ideias de juntar, contar, estimar, ordenar, medir
(comprimento, área), calcular, eram comuns de se encontrar nessas sociedades.
Nos
papiros que se preservaram do Egito antigo, constata-se que os egípcios já
trabalhavam com alguns tipos especiais de triângulos, como o triângulo
retângulo e os isósceles.
Acredita-se
que por volta do ano 600 a.C. o sábio Tales de Mileto [c.62 a.C. – c. 558 a.C.]
obteve a altura da Grande Pirâmide de Quéops, no Egito, por meio de um
raciocínio envolvendo triângulos. (SAMPAIO[8], 2012, p.112).
Na Babilônia, havia a presença de construções e
contagens, dessa maneira podemos identificar que a Matemática teve presente nas
relações de trabalho e na formação de outros setores organizacionais desse
povo. A história desses povos admite legado conclusivo na formação de várias
ciências. No tocante aos fatos ocorridos na história antiga das civilizações,
serão tratados com pouca ênfase nesse trabalho. Procuraremos olhar para as
situações matemáticas nesse quadro das relações humanas ao longo dos séculos
ocorridas no trabalho e na prática da Matemática e Cidadania.
Depois de quase
um século de mistério, um grupo de cientistas descobriu a utilidade de uma
antiga placa de argila da Babilônia que ostenta inscrições de mais de 3,8 mil
anos: trata-se da mais antiga tábua trigonométrica, provavelmente utilizada
pelos antigos matemáticos para realizar cálculos na construção de palácios,
templos e canais. (CASTRO[9], 2017, Inscrições feitas na Babilônia há 3,7 mil
anos mudam história da matemática).
Dada uma situação problema, seja para qualquer
nível escolar, a solução virá a partir de passos observados que poderão ser
utilizados no processo de resolução. São muitos métodos que podem ser aplicados
na resolução de problemas, assim como encontramos diversos tipos de problemas,
também encontraremos maneiras que seja aplicável a algum tipo dessas situações.
Vamos destacar nesse trabalho, o método de Polya,
em que encontraremos maneiras bem elaboradas para compreender a resolução de
problemas. Este é um método que pode ser muito utilizado por professores e
alunos em salas de aulas. Está dividido em quatro fases e cada uma destacada e
exemplificada, notaremos a importância de trabalhar com todas elas, pois são
passos que direcionam para a solução.
A resolução de problemas é tarefa realizada
utilizando tempo necessário, isto é, não pode ter pressa para alcançar a
solução. É preciso seguir os passos, fugir dos achismos, que surgem para levar
a fazer estimativas, e conclusões incertas. O tempo necessário para resolver um
problema, é dependente de qual método utilizamos para resolução e a lógica que
possuímos. Seguir os procedimentos fundamentais é caminhar para a solução, e em
um dado momento da execução da prática de resolver exercícios, iremos encontrar
uma entrada que abrirá a compreensão do texto do problema. Entretanto, para
achar a solução do problema, faz necessário inicialmente compreender,
estabelecer um plano, executar o plano e verificar.
Os livros escolares de Matemática, principalmente,
a partir do 6º ano, comumente, iniciam os capítulos fazendo alusão da História
da Matemática e, finaliza, propondo atividades básicas, complementares,
fundamentais e desafios. Cada conteúdo, então, é ministrado e faz o aluno
conhecer a história a partir de uma visão do princípio dele.
O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o desenvolvimento do letramento matemático, definido como as competências e
habilidades de raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente,
de modo a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a
resolução de problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos,
procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas. É também o letramento
matemático que assegura aos alunos reconhecer que os conhecimentos matemáticos
são fundamentais para a compreensão e a atuação no mundo e perceber o caráter
de jogo intelectual da matemática, como aspecto que favorece o desenvolvimento
do raciocínio lógico e crítico, estimula a investigação e pode ser prazeroso
(fruição). (BNCC, 2017, p.266).
No decorrer dos estudos, os alunos aprendem na
prática resolver questões já desenvolvidas pelo professor, ler definições, usar
fórmulas e, ao chegar ao final do capítulo, é desafiado a resolver outros tipos
de problemas que os levarão a confirmar o que aprendeu.
Propor ou participar de ações para investigar desafios do mundo contemporâneo e tomar decisões éticas e socialmente responsáveis, com
base na análise de problemas sociais, como os voltados a situações de saúde,
sustentabilidade, das implicações da tecnologia no mundo do trabalho, entre
outros, mobilizando e articulando conceitos, procedimentos e linguagens
próprios da Matemática. (BNCC, 2017, p.531).
Aqui notamos que quase sempre isso acontece, mas o
sucesso ocorrerá se o professor desses alunos fizer a exposição de maneira
flexível, mostrando que o método de resolução produzido por Polya é eficaz.
2.1
Etapas para a Resolução de Problemas
Queremos a partir daqui ater ao método de Polya. Em
cada etapa abordaremos sobre sua importância e sua aplicabilidade, também será
primor a citação de exemplos de situações problemas, que serão submetidas ao
estudo e resolvidas através do método. As etapas do método de Polya são:
compreender, planejar, executar o plano e fazer um retrospecto. É importante
resolver um problema, porque dará diretriz para resolver outros. Conforme Polya
(2006, p. 4), “é provável que a nossa concepção do problema seja muito
incompleta no princípio; a nossa perspectiva é outra depois de feito algum
progresso”.
2.1.1 Primeira etapa: Compreensão do problema
A questão está diante dos olhos, o comportamento
inicial será fazer as leituras dos textos do problema e confiar na capacidade
que possui. De acordo com Polya (2006, p. 5), “é uma tolice responder a uma
pergunta que não tenha sido compreendida”. Logo, compreender o problema é o
primeiro objetivo diante da questão. A leitura realizada será valiosa, porque
será o primeiro contato com a ideia da situação, não basta apenas uma leitura
para chegar à compreensão, é preciso focar no assunto e entender a linguagem
matemática. A linguagem normal que usamos no cotidiano também deve ser vista
com atenção. Os conectivos, como: “ou”, “e”, “do que”, “somente”, “se”, “que”,
“para”, estão colocados no texto e fazem parte do enunciado. Assim, deve se dar
mais importância a esse tipo de linguagem.
O aluno precisa compreender o problema, mas não só isto: deve também
desejar resolvê-lo. Se lhe faltar compreensão e interesse, isto nem sempre será
culpa sua. O problema deve ser bem escolhido, nem muito difícil nem muito
fácil, natural e interessante, e um certo tempo deve ser dedicado à sua
apresentação natural e interessante. Primeiro que tudo, o enunciado verbal do
problema precisa ficar bem entendido. O aluno deve também estar em condições de
identificar as partes principais do problema, a incógnita, os dados, a
condicionante. (POLYA, 2006, p.5).
Tomemos um exemplo para ilustrar tanto a primeira
etapa quanto as outras. Faremos uma descrição do problema, tomando os dados
separadamente, apontando tudo que é fornecido pelo problema para essa etapa de
resolução. Existem muitas formas de resolver o Problema de
Nicolau citado abaixo. Assim, segue uma possível solução para a situação dada.
Ela começará a ser desenvolvida nesta etapa, dando continuidade em cada uma das
etapas seguintes.
EXEMPLO único (Problema de Nicolau) – Nicolau
gastou tudo o que tinha no bolso em cinco lojas. Em cada loja gastou R$ 1,00 a
mais do que a metade do que tinha ao entrar em cada loja. Quanto tinha Nicolau
no bolso antes das compras?
1ª Etapa (Compreensão do
problema): O estudante precisa ler o problema e considerar as partes
principais, interpretar essas partes de maneira que estejam organizadas a fim
de que a compreensão do mesmo leve a conhecer os dados e ilustrar da melhor
maneira possível.
O estudante deve considerar as partes
principais do problema, atenta e repetidamente, sob vários pontos de vista. Se
houver uma figura relacionada ao problema, deverá traçar uma figura e nela
indicar a incógnita e os dados: Se for necessário designar estes elementos,
deverá adotar uma notação adequada, pois, dedicando alguma atenção à escolha
dos signos apropriados, será obrigado a considerar os elementos para os quais
esses signos têm de ser escolhidos. (POLYA, 2006, p.5)
Segue, as anotações
feitas por Polya (2006), uma compreensão do problema:
·
Qual é a
incógnita?
Quanto tinha no bolso antes das compras.
·
Quais
são os dados?
Gastou tudo que tinha nas cinco lojas, gastou
R$1,00 a mais do que a metade do que tinha ao entrar em cada loja.
·
Adote
uma notação adequada.
Qual a letra que deve
denotar a incógnita? Adotaremos, por conveniência,
·
Quais as
letras que escolheria para designar o que tinha ao entrar em cada loja?
·
Qual a
condicionante que relaciona
·
Linguagem
matemática de destaque.
A metade com a seguinte notação:
Vamos discorrer sobre a
conduta do professor ao passar para seus alunos esse problema. As explicações
serão interessantes, porque o problema deve tornar interessante para os alunos.
A partir da leitura do problema, o professor direciona os alunos para a
interpretação do enunciado. Compreender o problema deve ser o objetivo nessa
hora, assim indicar os dados e tomar conhecimento do que realmente está
querendo descobrir. Polya (2006, p.6) afirma que “o professor pode tornar
interessante o problema, concretizando-o”.
A aula expositiva terá
um cenário de diálogo em que alunos e professor, dessa maneira, estarão
envolvidos nesse procedimento até encontrar a solução. Seguindo o texto do
problema, exemplo 1, notamos que, Nicolau gastou tudo que tinha passando em
5 (cinco) lojas. Percebemos que a pessoa gastou tudo que tinha, pois, a
palavra tudo, denota a parte toda. Gastar em 5 (cinco) lojas é uma parte
interessante do problema, embora trate de locais de compras, mas o número 5
(cinco) é um dado do problema.
Diante disso, um ponto
de alerta deve ser observado com atenção é que em cada loja ele gastou
R$1,00 a mais do que a metade do que tinha ao entrar. A tradução dessa
parte é mais trabalhosa, além da linguagem matemática, os termos verbais
induzem o estudante a fazer suposições que possam estar incorretas. E
finalmente, a solução será encontrar quanto tinha no bolso antes das compras.
O diálogo entre
professor e aluno pode ser como está mostrado, dessa maneira o aluno poderá
interrogar para tirar suas dúvidas e o professor fará um trabalho de melhor
clareza ao resolver esse problema no quadro giz. A etapa de compreensão precisa
ser detalhada para que se conheça o problema e faça uso adequado do
procedimento.
É preciso compreender o problema,
familiarizar-se com ele, gravar na mente o seu objetivo. A atenção concedida ao
problema pode também estimular a memória e propiciar a recordação de pontos
relevantes. [...] Verifique as partes principais do seu problema, considere-as
uma a uma, em seguida examine-as em várias combinações, relacionando cada
detalhe com os outros detalhes e cada um destes com a totalidade do problema.
(POLYA, 2006, p.29).
Começar a resolução de
um problema pela compreensão do mesmo é um indicativo de que o trabalho será
proveitoso e a análise de cada detalhe possibilitará encontrar a solução. Assim
sendo, não haverá compreensão se não tiver conhecimento matemático, essa é uma
questão sempre escutada, a dificuldade de compreender o problema. Aquelas
pessoas que não entendem a Matemática, olharão para o problema e farão muitas
leituras, mas não encontrará nenhuma luz para fazer a resolução. Por isso, não
são todos que sabem resolver problemas matemáticos, mas todos que compreendem
um problema e conhece matemática, saberão resolver.
2.1.2 Estabelecimento de um plano
Essa etapa consiste em
estabelecer um plano do que será realizado, tendo contato com problema e
sabendo o que ele quer. Compreendendo o problema, traçar um plano é
fundamental, pois o que fazer e como fazer será bem definido no planejamento. O
plano consiste em dar direção e organização das ideias levantadas pela
compreensão que obteve da situação problema.
A parte que trata o que
fazer, é dada através de objetivos definidos para que o planejamento seja
flexível, embora não seja infalível, podendo ser replanejado e mudado, o plano
conterá estratégias que forma a dimensão do ato de realização da tarefa. Até
mesmo no cotidiano o planejamento é essencial, ele norteia as ações num
trabalho e faz com que elas sejam executadas organizadamente. No planejamento,
o procedimento para a realização, é dado pela forma de como será feita, isto é
importante, porque mostra habilidade, confiança e domínio do conteúdo na
execução do trabalho.
A resolução do problema,
então, dará efetividade através da compreensão e estabelecimento do plano. Por
intermédio dessas duas indagações, o estudante saberá o que fazer e tomará
conhecimento de como fazer.
O caminho que vai desde a compreensão do
problema até o estabelecimento de um plano, pode ser longo e tortuoso.
Realmente, o principal feito na resolução de um problema é a concepção da ideia
de um plano. Esta ideia pode surgir gradualmente ou, então, após tentativas
infrutíferas e um período de hesitação, aparecer repentinamente, num lampejo,
como uma “ideia brilhante”. (POLYA, 2006, p.7).
Vamos direcionar o modo
a ser planejado para realizar a resolução de um problema. Se tomarmos como
exemplo mais uma situação do nosso dia a dia, poderemos encontrar nela algum
fator encontrado na Matemática com relação a cidadania, promovendo maior
interesse do estudante.
Iremos
fazer uma análise dessa situação problema, cujo objetivo, será elaborar um
plano para resolução. Sabendo da importância do planejamento para o exercício
de uma atividade, faremos isso de forma condizente com a necessidade de todos,
pois quando o assunto é resolver problemas, a organização é fundamental. Acerca
do estabelecimento de um plano, diz Polya (2006, p. 7), “temos um plano quando
conhecemos, pelo menos de um modo geral, quais as contas, os cálculos ou os
desenhos que precisamos executar para obter a incógnita”. Vamos ao ato do
planejamento.
2ª
etapa (Estabelecimento de um plano):
·
Conhece
um problema correlato? Existem diversas formas de resolver
problemas que utilizam a mesma ideia de resolução.
·
Considere
a incógnita! Conhece um problema que tenha a mesma incógnita ou outra
semelhante? Deve ser a atenção do estudante para
esse tipo de informação, o conhecimento de outro problema em que utiliza a
mesma ideia.
·
Então,
qual é a incógnita? No problema, precisa descobrir quanto
gastou em cada loja visitada, chamaremos de
·
Eis
um problema correlato já resolvido. É possível utilizá-lo? Esse
pensar, considerando a organização das ideias, é muito útil, porque através de
um exemplo já resolvido, será um norte para novas resoluções.
O
professor deve estar preparado para o caso em que até esta indicação tão
explícita seja insuficiente para despertar os alunos de seu torpor. Deve ainda
preparar-se para usar toda uma gama de indicações mais ou menos explícitas.
(...) Quando afinal, com ajuda maior ou menor, os estudantes conseguirem
introduzir o elemento auxiliar decisivo, (...) o professor deverá estar
convicto de que seus alunos veem bastante adiante, antes de encorajá-los a
passar aos cálculos. (POLYA, 2006, p. 9, 10).
·
É
possível introduzir algum elemento auxiliar para possibilitar a sua utilização?
Aqui
há muitas maneiras que são também encontradas em outras situações envolvendo
elementos da linguagem matemática que podem ser aplicados em iguais tipos de
problemas.
Nesta
situação, podemos resolver o Problema de Nicolau através de equações de grau 1,
formando um sistema de equações, utilizando o método de substituição na
resolução deste.
A persistência é
adquirida a partir de estímulos que funcionam como motivadores para realizar a
tarefa focando no objetivo. Essa missão até chegar ao alvo é acompanhada por estratégias
que torna o trabalho sólido e proveitoso. A fim de alcançar o propósito nada
melhor do que a realização através do planejamento, assim será guiada e saberá
aonde ir e o que fazer. O comentarista social Thomas Carlyle[10],
escreveu a seguinte frase acerca do propósito: “O homem sem propósito é como um
navio sem leme.” Entendemos a importância do foco na execução de uma tarefa, o
resultado será visto tão logo ter acabado a atividade, seja qualquer tipo de
trabalho, escolar ou do dia a dia.
A
execução do plano é a terceira divisão do método de Polya, seguidos pela
compreensão e elaboração de um plano. Essa etapa vai tratar da arrumação das
ideias e como elas poderão ser colocadas em qualquer situação.
O plano
proporciona apenas um roteiro geral. Precisamos ficar convictos de que os
detalhes se inserem nesse roteiro e, para isso, temos que examiná-los, um após
outro, pacientemente, até que tudo fique perfeitamente claro e que não reste
nenhum recanto obscuro no qual possa ocultar-se um erro. (POLYA, 2006, p. 10).
Iremos
utilizar um terceiro exemplo de problema nessa etapa, que servirá para observar
como conceber um plano para a resolução de problemas. A paciência é encontrada
como requisito nesse processo contíguo a fim de encontrar a solução do problema
escolhido.
Conceber um
plano, a ideia da resolução, não é fácil. Para conseguir isto é preciso, além
de conhecimentos anteriores, de bons hábitos mentais e de concentração no
objetivo, mais uma coisa: boa sorte. Executar o plano é muito mais fácil, paciência
é o que mais se precisa. (POLYA, 2006, p. 10).
3ª
etapa (executar o plano): Supondo que antes de entrar na
1ª loja tinha
Na 1ª
loja gastou:
Saiu da
loja 1 com
Tomemos
Na 2ª
loja gastou:
Saiu da
loja com
Tomemos
Na 3ª
loja gastou:
Saiu da
loja com
Tomemos
Na 4ª
loja gastou:
Saiu da
loja com
Tomemos
Na 5ª e
última loja gastou:
Porém,
nesta loja gastou o resto que tinha no bolso, ou seja, quando saiu da loja não
possuía nenhum dinheiro no bolso. Assim, teremos:
Desta
última igualdade temos que
Substituindo
o este resultado na equação
Substituindo
o este resultado na equação
Substituindo
o este resultado na equação
E,
por fim, substituindo o este resultado na equação
Portanto,
Nicolau tinha
A resolução de
problemas envolve criatividade, espírito de organização, capacidade de
trabalho, autoconfiança, paciência, persistência. Resolver problemas é uma
realidade que pode ser desenvolvida. Um problema ainda que simples, pode
despertar o prazer pelo trabalho mental e proporcionar ao aluno o gosto pela
descoberta da resolução. (ENTRE JOVENS[11],
2013, p. 122).
Resolver
problemas a partir do método de Polya é muito interessante, porque os passos
são flexíveis e deixa o estudante confiante. Seguindo esse método, o momento da
resolução será marcado pela autoconfiança, capacidade, organização e
principalmente por uma coisa que a gente não encontra na maioria dos
estudantes, que é a paciência. A arte de resolver problemas tem seu próprio
autor, mas todos quantos a usarem serão artistas através das suas próprias
criatividades. A alegria de aprender algo em matemática é manifesta através da
vontade de continuar estudando e resolvendo mais problemas, é gratificante
saber solucionar um problema.
Essa
etapa da resolução de problemas fala do ato da verificação realizada pelos
alunos ao terminarem de resolver um exercício. É a confirmação de que os
resultados obtidos fazem sentido. Isso leva também a fazer os cálculos de outra
forma diferente. De acordo com o guia Entre Jovens (2013, p. 124), “poderá
escrever a solução final de forma clara e concisa, usando uma linguagem simples
sem qualquer margem para ambiguidade”.
Vimos
uma realidade muito comum nos estudantes, acerca da resolução de problemas, que
é fechar o caderno logo após resolver um problema. Essa etapa do método,
complementa o sucesso de como encontrar soluções de problemas propostos ou
escolhidos. O ato da retrospectiva, também era realizado pelos professores
durante a explicação de exercícios no quadro giz, em que consistia voltar ao
problema resolvido e “tirar a prova real”, lembra?
Dessa
maneira, ou ter a condição de refazê-lo é fundamental para que haja
aprendizado, e sucesso em futuras resoluções de problemas. Segundo Polya (2006, p. 12) “Se fizerem um retrospecto da
resolução completa, reconsiderando e reexaminando o resultado final e o caminho
que levou até este, eles poderão consolidar o seu conhecimento e aperfeiçoar a
sua capacidade de resolver problemas”.
Utilizou
todos os dados? Todos os dados que foram listados no
plano foram utilizados na resolução. Cada passo da resolução foi pacientemente
realizado, observando o significado de que cada um possuía na situação.
Finalmente, esses dados foram suficientes e representam significativamente
elementos aplicáveis do cotidiano das pessoas.
4ª
etapa (Retrospecto): Veja que ele tinha
a)
Na 1ª loja gastou
b) Na
2ª loja gastou
c) Na
3ª loja gastou
d)
Na 4ª loja gastou
e)
Na 5ª loja gastou
Então,
a solução satisfaz o problema inicial.
Essa
ideia pode ser usada para outros tipos de problemas que tenha a composição
algébrica na linguagem do texto. Isto é, uma situação que apresenta um valor
oculto no qual deve ser identificado, somente através da resolução, através da
lógica se torna imprópria à conclusão. Também podemos destacar que existem
outras formas de resolver essa situação. Poderia ser feita usando outras ideias
matemáticas. A partir desse tipo de resolução que foi apresentado, é possível
também aplicá-la para outros problemas, no entanto, a mesma ideia serviria para
compreender os problemas, pois encontraríamos apenas mudanças no enunciado, no
texto verbal.
Ao concluir a resolução
do problema, é importante verificar os resultados e compará-lo com outros de mesma
semelhança. Isto será interessante para compreender como encontrou os
resultados e qual outra maneira ainda poderia ser utilizada na resolução do
problema.
Os estudantes acharão realmente interessante o
retrospecto se eles houverem feito um esforço honesto e ficarem conscientes de
terem resolvido bem o problema. Neste caso, ficarão ansiosos para ver o que
mais poderão conseguir com aquele esforço e como poderão, da próxima vez, fazer
tão bem quanto desta. O professor deve encorajar os alunos a imaginar casos em
que eles poderão outra vez utilizar o procedimento usado ou o resultado obtido.
(POLYA, 2006, p. 13).
Vimos as quatro fases do
Método de Polya. “Cada uma dessas fases tem a sua importância” (2006, p. 5). Um
problema pode ser resolvido utilizando outros métodos, mas através desse modelo
organizado, possibilita ao estudante encontrar as soluções das situações
problemas e também aprender. Resolver problemas deve ser uma arte, como afirma
o título da obra de George Polya, pois cada problema resolvido observa um
trabalho que resulta em conhecimento matemático e agilidade para interpretar
qualquer tipo de problemas. Afinal, o aprender matemática se torna mais
interessante, o estudante poderá não somente desejar resolver situações
problemas, mas gostar de matemática.
O que é um problema matemático? De acordo com Dante
(2007, p. 10), “é qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e
conhecimentos matemáticos para solucioná-las.” Os objetivos da resolução de
problemas são importantes, pois eles acentuam que tipo de situação a Matemática
está envolvida.
Reconhecer
que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades
e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos
históricos, e
é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos
e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com
impactos no mundo do trabalho. (BNCC, 2017, p.267).
A aplicação da Matemática nos setores da sociedade
mostra infindos exemplos de problemas que podem ser explorados. A Matemática e
a cidadania têm participação no cotidiano das pessoas, por esse motivo, é
imprescindível a sociedade manter organizada sem os valores de cidadania e sem
o uso de conhecimentos matemáticos.
O homem está envolvido com a Matemática ao longo de
sua história. Ela faz parte do viver no dia a dia de cada pessoa, seja em casa,
no trabalho, no supermercado, nos planejamentos, no comércio, na economia,
assim, podemos encontrar a prática desses conceitos matemáticos em qualquer
meio social. As situações problemáticas que aparecem também no dia a dia das
pessoas e que envolvem matemática são encaradas como problemas. Dessa forma, a
solução de qualquer tipo desses problemas é encontrada, relacionando-os à
Matemática. A prática da resolução de problemas é fundamental para o
desenvolvimento da sociedade. O objetivo da resolução de um problema trará o
essencial para qualquer estudante.
Convém
reiterar a justificativa do uso na BNCC de “Resolver e Elaborar Problemas” em lugar de “Resolver Problemas”. Essa opção amplia e aprofunda o
significado dado à resolução de problemas: a elaboração pressupõe que os
estudantes investiguem outros problemas que envolvem os conceitos tratados; sua
finalidade é também promover a reflexão e o questionamento sobre o que ocorreria
se algum dado fosse alterado ou se alguma condição fosse acrescentada ou
retirada. (BNCC, 2017, p.536).
Veremos a
seguir algumas contribuições da Resolução de Problemas, tais como: Fazer o
aluno pensar produtivamente, desenvolver o raciocínio do mesmo, ensinar o educando a enfrentar situações
novas, dar a ele oportunidade de se envolver com as aplicações da Matemática,
tornar as aulas de Matemática mais interessantes e desafiadoras, equipar o
aluno com estratégias para resolver problemas e dar uma boa base matemática às
pessoas.
3.1
Fazer o aluno pensar produtivamente
A leitura é importante para uma pessoa. Ela informa
o leitor e possibilita que ele alcance conhecimento através da prática correta.
Do mesmo modo, vimos em Matemática que a prática é proveitosa e necessária para
chegar ao conhecimento matemático, assim, a resolução de problemas aparece como
forma esclarecedora de que todos que adquirem o conhecimento poderão resolver
uma situação.
Um dos
principais objetivos do ensino de Matemática é fazer o aluno pensar
produtivamente e, para isso, nada melhor que apresentar-lhe situações problema
que o envolvam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las. Esta é uma das
razões pela qual a resolução de problemas tem sido reconhecida no mundo todo como
uma das metas fundamentais da Matemática no 1º Grau. (DANTE, 2007, p.11).
Os alunos são estimulados a pensar produtivamente a
partir da proposição de uma situação que faça parte do seu dia a dia. Isto fará
que eles desejem relacionar o universo da Matemática com apreciação, a
resolução de problemas será algo interessante para eles. Seja qual o contexto
da situação problema, sendo possível encontrar algum meio que esteja ligado a
cidadania, é um problema que chamará atenção dos alunos. Citaremos dois exemplos
de problemas elaborados em livro didático do 8º ano, ambos possuem soluções
distintas, mas contextos específicos. Citamos um exemplo de problema que faz
com que o estudante pense e produza melhor: Em nosso país, as leis trabalhistas garantem ao trabalhador o direito a
receber, por ocasião de suas férias, um acréscimo de
a)
b)
c)
d)
O exemplo citado tem o dinamismo de envolver os
alunos em seus contextos, pois percebemos que são situações do cotidiano deles,
desse modo, são estimulados a pensarem e gastar tempo com paciência para
encontrar suas soluções. Os problemas que possuem essa dinâmica promoverão
interesse nos alunos, mesmo que não saibam as respostas de imediato, mas
poderão ser orientados pelo professor a seguir o método que melhor os auxiliem
alcançar uma solução.
3.2
Desenvolver o raciocínio do aluno
Existem pessoas que não gostam de pensar muito
quando estão diante de um problema matemático. Já ouvimos alguém dizer: “estou
com a cabeça doendo de tanto pensar.” Dessa maneira, entendemos que qualquer
problema fará com que o estudante perceba a solução através do raciocínio, isto
é, terá que pensar e pensar. Embora, apenas pensar não será suficiente, esse é
o caso das pessoas que não suportam pensar, como mencionada acima. É necessário
organizar esse pensar. “É preciso desenvolver no aluno a habilidade de elaborar
um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis,
para que ele possa propor boas soluções às questões que surgem em seu dia a
dia, na escola ou fora dela” (DANTE, 2007, p. 12).
Vamos citar uma situação, na qual, a lógica poderá
ser usada por aqueles que escolherem problemas desse tipo, usando a
compreensão. Não importando a resposta que chegar, será uma tarefa para o aluno
raciocinar e fazer por tentativas. Quando o problema é proposto, exigindo a
resolução correta, como ocorre na prova, o aluno quer resolver o problema
lembrando-se de como fora feito por seu professor em sala de aula. Mas, em
problemas, cujo objetivo é desenvolver o raciocínio do aluno, será comum tentar
utilizando qualquer modo que vier a pensar. Assim, o raciocínio será estimulado
e mesmo que deixe qualquer resposta, para depois ser corrigida pelo professor e
conferida no gabarito, continua sendo importante, uma vez depois de revista,
conclui se estava correto o modo que raciocinou.
Citamos um exemplo de situação problema, em que o
estudante utiliza as ferramentas matemáticas e desenvolve o raciocínio. Renato e Russo estão jogando com cartas
de cor azul e vermelha. A carta azul vale
O estudante é estimulado a resolver questões que
lhe cause impressão, ou seja, um problema que seja interessante, no qual, seja
desejável. A escolha pelo tipo de problema de raciocínio é comum para
estudantes que gostem de usar a criatividade.
3.3
Ensinar o aluno a enfrentar situações novas
Para esse objetivo poderemos encontrar diversos
exemplos de problemas existentes que são utilizados nas aulas de matemática. O
professor, ciente da necessidade de seus alunos, deveria propor situações reais
aplicadas à matemática, certamente existam professores que não se preocupam com
a aprendizagem de seus alunos, porém, a maioria dos mestres se esforçam para
que haja progresso nos estudos e que os alunos cresçam e amadureçam conhecendo
que a matemática está em toda parte e que sua importância é fundamental para
encontrar respostas reais.
“Um caminho bastante razoável é preparar o aluno
para lidar com situações novas, quaisquer que sejam elas. E, para isso, é
fundamental desenvolver nele iniciativa, espírito explorador, criatividade e
independência através da resolução de problemas” (DANTE, 2007 p.12). O professor
conhece a capacidade de seus alunos, mesmo que haja dificuldade para fazê-los
realizarem as atividades em sala, mas conseguirá incentivá-los à medida que
eles forem agentes que fazem parte das situações, em que eles mesmos poderão
dar a solução e explicar com provas porque chegou a tal conclusão.
Dessa maneira, o aluno envolve com situações novas
e a partir daí enfrenta obstáculos utilizando ferramentas conhecidas através do
ensino e estímulo ocorrido durante as aulas de matemática. Agora, passamos a
apresentar uma situação elaborada, onde envolve o aluno a pensar e realizar o
trabalho fazendo aplicações cotidianas no universo matemático. No pátio da
escola de Pedro há uma árvore, o professor de Matemática pediu para calcular a
altura dessa árvore utilizando ideias de proporção ou Teorema de Tales.
Souberam que a medida do comprimento da sombra da árvore era 21,62
Uma situação que potencializa o saber dos alunos é
aquela que ele mesmo possa construir e utilizar estratégias que aprendeu ao
resolver outros tipos de problemas semelhantes. A independência do aluno no ato
da construção de uma nova situação revela a motivação que ele desfruta e muito
mais ainda quando entender o problema e chegar à solução através de seus
próprios esforços.
3.4
Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da Matemática
Quando descobrimos a utilidade de um objeto,
tornamo-nos mais participativos e interessados no nosso trabalho cotidiano.
Dessa maneira, os alunos conhecendo a aplicação da Matemática nas coisas da
vida, terá maior interesse no estudo, porque saberá pra que e como isso
funciona. O conhecimento da linguagem se dará na aplicação das ideias
matemáticas quando este estiver trabalhando.
Saber o porquê do estudo de equações, frações,
raízes e potências é um caminho relevante para o aluno que deseja envolver com
as aplicações matemáticas, e o professor deve atentar para isso, oferecendo
oportunidade ao aluno de aprender na prática como as coisas no dia a dia estão
relacionadas com a Matemática.
A
oportunidade de usar os conceitos matemáticos no dia a dia favorece o
desenvolvimento de uma atitude positiva do aluno em relação à Matemática. Não
basta saber fazer mecanicamente as operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão. É preciso saber como e quando usá-las convenientemente
na resolução de situações problema. (DANTE, 2007 p.13).
As contribuições que recebemos quando resolvemos um
problema vem desde a interpretação do próprio problema, pois conhecemos que a
linguagem contida nele é a porta para compreender todo o corpo textual. Maior
prazer haverá na aplicação que fizermos do conteúdo matemático em negócios do
cotidiano. Assim, envolver com as aplicações da Matemática é saber o sentido
dos conteúdos estudados.
Além dos
diferentes recursos didáticos e materiais, como malhas quadriculadas, ábacos,
jogos, calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares de geometria dinâmica, é
importante incluir a história da Matemática como recurso que pode despertar
interesse e representar um contexto significativo para aprender e ensinar
Matemática. Entretanto, esses recursos e materiais precisam estar integrados a
situações que propiciem a reflexão, contribuindo para a sistematização e a
formalização dos conceitos matemáticos. (BNCC, 2017 p.298).
A
história da Matemática é um depoimento através de fatos que centraliza a
compreensão dos alunos na aplicabilidade dos conteúdos. Ao saber de algum fato
histórico dos povos egípcios, quanto ao uso da geometria, por exemplo, os
alunos recebem oportunidade para participarem da discussão sobre o conteúdo.
Mas, a oportunidade que o professor pode dar aos seus alunos é conversar com
eles sobre a importância da Matemática e seu uso no dia a dia das pessoas e nas
resoluções de problemas.
A
aplicação da Matemática é fato de muito interesse tanto por pessoas leigas no
ensino quanto as que estudam constantemente, porque a aplicação explica por si
só a exatidão com que os objetos possuem no conjunto das ideias matemáticas.
Como exemplo do trabalho das pessoas, todos eles têm aplicação de algum
conteúdo matemático. Um serralheiro que constrói um portão, seja ele estudante
de matemática ou não, estará utilizando conceitos matemáticos na execução de
seu trabalho.
Finalmente,
os alunos serão orientados por seu professor que conhecer os conteúdos
matemáticos e sua aplicação é relevante para que haja o aprendizado. A
resolução de problemas contribuirá para a formação intelectual do estudante.
“EXEMPLO 5 – Sabendo que a quantidade de determinadas telhas por metros
quadrados na formação dum telhado é de
A
atitude positiva do aluno em relação à Matemática é dada a partir do
envolvimento que ele possui com o uso dela. Além da construção do conhecimento,
e da tradução das linguagens normal e matemática, o aluno alcança o nível de
confiança nas resoluções de problemas e consegue perceber sentido em tudo que
está no Universo.
3.5
Tornar as aulas de Matemática mais interessantes e desafiadoras
A maioria das pessoas fala da Matemática como uma
ciência extremamente difícil de ser compreendida. Esse tratamento dificulta o
aprendizado, pois o indivíduo passa a enxergar os seus conteúdos como aquilo
que para ser entendido deve exigir muita concentração, e as pessoas atualmente
não possuem tanta concentração, elas estão cheias de informações. Mas, o fato
de não saber matemática vem pela tradição de berço. Os pais desde quando tem
seus filhos pequenos, ensinam que problemas devem ser evitados, sejam eles de
caráteres sociais ou científicos.
O pensamento acerca do aprendizado da criança pelos
pais tem concordância com as frequentes réplicas dos alunos em salas de aulas,
como em falar “pra que estudar isso”. As pessoas carregam esse sentimento da
Matemática por não possuir a linguagem matemática em seus vocabulários desde a
infância. Mas o interessante é que todos quantos nasceram dessa forma, a
qualquer momento podem compreender e falar o mesmo idioma da ciência exata.
Alguns aprendem com facilidade, estes são aqueles que foram ensinados a andar
no caminho certo, a sabedoria. Outros não interessam, por notar que estudar
Matemática é somente para os solucionadores de problemas, e possui aqueles que
“adoecem” quando o assunto é Matemática, são filhos ensinados a utilizar a
linguagem normal, por medo de problemas que danifique seus neurônios.
O
solucionador de problemas inteligente procura, antes de tudo, compreender o
problema tanto quanto possível completa e claramente. Isto não é, no entanto,
suficiente: é preciso que ele almeje sinceramente chegar à solução. Se não
tiver um real anseio de resolver o problema, será melhor deixa-lo de lado. O
verdadeiro segredo do sucesso consiste em consagrar toda a sua personalidade ao
problema. (POLYA, 2006 p.118, 119).
A revelação do interesse do aluno será realizada no
período em que ele passa na escola, pois nesse ambiente, a formação da sua vida
acadêmica vai sendo montada. As aulas de Matemáticas que tem coisas
interessantes e desafiadoras, provoca maior interesse nos alunos.
Uma
aula de Matemática onde os alunos, incentivados e orientados pelo professor,
trabalhem de modo ativo – individualmente ou em pequenos grupos – na aventura
de buscar a solução de um problema que os desafia é mais dinâmica e motivadora
do que a que segue o clássico esquema de explicar e repetir. (DANTE,
2007 p.13-14).
Se a dificuldade da maioria dos alunos são as
operações matemáticas, como ficaria a compreensão da linguagem matemática. Uma
aula dinâmica pode fazer com que o aluno desinteressado passe a estudar as
operações e os desafios serão descobertos quando utilizar a linguagem
matemática na resolução de qualquer tipo de problema. Quando o aluno tratar que
a expressão “um número qualquer” é o
A abordagem
investigativa deve promover o protagonismo dos estudantes na aprendizagem e na
aplicação de processos, práticas e procedimentos, a partir dos quais o
conhecimento científico e tecnológico é produzido. Nessa etapa da
escolarização, ela deve ser desencadeada a partir de desafios e problemas
abertos e contextualizados, para estimular a curiosidade e a criatividade na
elaboração de procedimentos e na busca de soluções de natureza teórica e/ou
experimental. Dessa maneira, intensificam-se o diálogo com o mundo real e as
possibilidades de análises e de intervenções em contextos mais amplos e
complexos, como no caso das matrizes energéticas e dos processos industriais,
em que são indispensáveis os conhecimentos científicos, tais como os tipos e as
transformações de energia, e as propriedades dos materiais. Vale a pena
ressaltar que, mais importante do que adquirir as informações em si, é aprender
como obtê-las, como produzi-las e como analisá-las criticamente. (BNCC, 2017 p.
551).
Podemos concluir essa afirmação
sobre uma aula interessante, apresentando o exemplo de situação problema como a
mencionada no capítulo
Como tarefa desafiadora proposta na aula, “será
prazeroso estudar matemática, quando a satisfação está no aluno que, por si só,
resolve um problema” (DANTE 2007). Os problemas podem desenvolver no estudante
o interesse em resolver mais problemas, o quanto seja difícil, melhor será o
desafio.
3.6
Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas
O
ambiente da sala de aula é acolhedor, nele não falta respeito e seriedade.
Infelizmente, encontramos na atualidade muita animosidade, os alunos não
aproveitam o tempo escolar para realmente aprender, mas as frequências nas
aulas de Matemática são notórias, fato do incentivo do Governo através das
bolsas[12] para as famílias,
condicionada pelas presenças dos filhos na Escola.
Sobretudo, propicia um futuro provedor da formação
matemática de cada estudante. O professor, como dissemos anteriormente, é
mediador entre o conhecimento e o aluno, assim possibilita melhor formação
acadêmica e oportunidades para os estudantes. A linguagem matemática está
ligada às demais linguagens, sejam elas normais, pictóricas, corporais, elas
vão estar em acordo, porque funcionam na comunicação.
Da mesma forma
que na fase anterior, a aprendizagem em Matemática no Ensino Fundamental – Anos
Finais também está intrinsecamente relacionada à apreensão de significados dos
objetos matemáticos. Esses significados resultam das conexões que os alunos
estabelecem entre os objetos e seu cotidiano, entre eles e os diferentes temas
matemáticos e, por fim, entre eles e os demais componentes curriculares. Nessa
fase, precisa ser destacada a importância da comunicação em linguagem
matemática com o uso da linguagem simbólica, da representação e da
argumentação. (BNCC, 2017 p.298).
A
atividade que pensamos nesse trabalho é a realização de resoluções de
problemas, os objetivos da resolução de problema, no âmbito da ideia pedagógica
é a aprendizagem, conquanto eles desempenham um papel importante na formação
intelectual na área dos estudos matemáticos. As estratégias advindas desse
proceder envolvem o aluno e o capacita a resolver problemas.
Um
problema escolhido tem estratégia que equipa o aluno, e dessa maneira
intermediado pelo professor, conseguirá a partir da leitura do texto do seu
problema, fazer a tradução necessária, e utilizar o método que lhe for mais
conveniente, no entanto, que o aluno opte pelo método heurístico de Polya ou,
simplesmente, método de Polya. Por ele, os passos a serem seguidos estão
descritos, e todo planejamento a ser passado para o papel está identificado
passo a passo.
Nessa
perspectiva, é sempre interessante que o professor de Matemática equipe os seus
alunos com estratégias para resolver problemas, porque as estratégias estão
ligadas a missão, objetivo e ferramentas úteis no ato da resolução de uma
situação. “Para resolver problemas, precisamos desenvolver determinadas
estratégias que, em geral, se aplicam a um grande número de situações. Esse
mecanismo auxilia a análise e a solução de situações onde um ou mais elementos
desconhecidos são procurados”. (DANTE, 2007, p.14).
É
importante planejar antes de iniciar a resolução do problema, por exemplo, um
alpinista antes de escalar uma montanha, há de perguntar, “qual é o plano para
escalarmos esta montanha”. O alpinista encontrará estratégias, apoiadas por
suas ferramentas até chegar ao topo. Assim sendo, um método matemático para
resolução de problemas, lista também quais procedimentos o estudante deve tomar
para encontrar a solução da situação problema.
Nesse tipo de problemas, encontramos nos livros didáticos do Ensino Fundamental
o seguinte problema: Represente algebricamente esta situação: “Pensei em um
número. Adicionei
Independentemente
do método que o aluno dispõe para resolver um problema, é importante que ele
seja confiante e exerça o passo a passo até encontrar a solução, de outra
maneira, se pular as etapas, seu trabalho ficará difícil de terminar.
3.7
Dar uma boa base matemática às pessoas
Quando abrimos um livro de problemas matemáticos,
temos uma reação ao ler o primeiro problema. A linguagem matemática que
deparamos no texto da situação comove o leitor, ora aproximando com interesse à
leitura, ora afastando-o. O estudante que conhece a linguagem ali presente, não
apartará desse livro até que resolva alguns deles, mas aquele que não conseguem
traduzir os enunciados deixará de ler imediatamente.
Nesse contexto da linguagem matemática presente nas
situações problemas, o aluno com boa base matemática, terá maior interesse e facilidade
para interpretar qualquer enunciado. Ainda, se o estudante recebeu de seu
professor melhores instruções quanto a resolução de problemas, seguirá algum
método para encontrar as respostas. Saber utilizar o método de resolução de
problemas, como foi falado anteriormente, mostra que o aluno adquiriu boa base
matemática ao longo dos dias de estudo.
Uma base matemática é obtida com esforço e
confiança, dentro de um ambiente educacional pautado com responsabilidade e
compromisso com os conteúdos estudados. A aprendizagem se dá pelo bom ensino do
professor, mas a base matemática pelo estudo orientado que podes receber em
seus dias de aulas. A tabuada é aprendida por aqueles que estudaram e
consideraram que saber operar era uma tarefa desafiadora.
O conhecimento
matemático é necessário para todos os alunos da Educação Básica, seja por sua
grande aplicação na sociedade contemporânea, seja pelas suas potencialidades na
formação de cidadãos críticos, cientes de suas responsabilidades sociais. O
desenvolvimento dessas habilidades está intrinsecamente relacionado a algumas
formas de organização da aprendizagem matemática, com base na análise de
situações da vida cotidiana, de outras áreas do conhecimento e da própria
Matemática. Os processos matemáticos de resolução de problemas, de
investigação, de desenvolvimento de projetos e da modelagem podem ser citados
como formas privilegiadas da atividade matemática, motivo pelo qual são, ao
mesmo tempo, objeto e estratégia para a aprendizagem ao longo de todo o Ensino
Fundamental. Esses processos de aprendizagem são potencialmente ricos para o
desenvolvimento de competências fundamentais para o letramento matemático
(raciocínio, representação, comunicação e argumentação) e para o
desenvolvimento do pensamento computacional. (BNCC, 2017 p.265).
Os
efeitos da resolução de problemas não podem ser tidos como passa tempos
curiosos que as pessoas usam para distraírem-se. Os objetivos da resolução de
problemas é a formação e letramento matemático[13]
(raciocínio, representação, comunicação e argumentação).
É necessário
formar cidadãos matematicamente alfabetizados, que saibam como resolver, de
modo inteligente, seus problemas de comércio, economia, administração,
engenharia, medicina, previsão do tempo e outros da vida diária. ... é preciso
que a criança tenha, em seu currículo de Matemática elementar, a resolução de
problemas como parte substancial, para que desenvolva desde cedo sua capacidade
de enfrentar situações problema. (DANTE, 2007 p.15)
Nossos
avós, praticamente não tiveram uma escola em suas vidas, estudavam por conta
própria até aprender aritmética, cálculos e geometria. Fazendo contas do
comércio dos animais da fazenda, estimando quantidades de cereais a serem
colhidos na roça e medindo terrenos, cujas, áreas eram dadas a grosso modo por
medidas manuais. A base matemática na vida intelectual de uma pessoa a torna
capaz de enfrentar e solucionar um problema.
As
habilidades surgem também em outras áreas das Ciências Naturais. Uma boa base matemática
vem da resolução de problemas, sem dúvida. No livro didático do 8º ano do
Ensino Fundamental encontramos um problema que serve para base desse objetivo. Lúcio
quer montar uma pequena escada com
Estudar
Matemática conhecendo as aplicações dos conteúdos na vida diária das pessoas
torna o estudo mais prazeroso e acima de tudo proveitoso. Cada atividade
realizada seja na escola ou fora dela, contem saberes matemáticos que validam a
exatidão de sua composição. Uma atividade, em que a Matemática não está
inserida em seu conteúdo, aperfeiçoa a criatividade do estudante, mas não
estimula a resolver uma situação de conflito. O texto, cuja linguagem é normal,
ensina coisas da vida através da poesia e da filosofia, mas o conteúdo saturado
da linguagem matemática faz ser notório entre as demais pessoas. Assim, estudar
Matemática, não facilita apenas resolver problemas, mas capacita interpretar e
mostrar a solução dos problemas.
Ao planejar a construção desse
trabalho, primeiramente foi pensada a importância da resolução de problemas no
dia a dia das pessoas. A escola como local do ensino aprendizagem reflete os
resultados de aprendizagem dos alunos ao concluírem seus anos escolares. No
entanto, ainda que isso esteja presente nas mentes das pessoas da sociedade, a
aprendizagem vai além do ambiente escolar.
O conhecimento adquirido em sala de
aula é aprimorado através de estudos e pesquisas extra sala. Assim, para o
estudante de Matemática, conhecer temas dessa área é resultado da pesquisa,
principalmente, dos estudantes do ensino superior. A resolução de problemas que
é o nosso foco, foi mostrada a sua importância, sua estrutura e sua
contribuição. Não podemos falar de resolução de problemas sem antes nos lembrar
da linguagem matemática como código pertencente ao conteúdo das situações
problema. A linguagem matemática é a força que torna o texto da linguagem
normal num “problema”. Compreender um problema é igualmente conhecer a
linguagem matemática impressa no texto.
O aluno que estuda matemática, além
de seus esforços, poderá ter mais facilidade diante de situações que envolvem
cálculos e raciocínio lógico, do que outros que pertencem às outras áreas de
ensino. Não queremos identificar apenas alunos de matemática como hábeis ou
solícitos na resolução de problemas, mas discutir em grupo de professores sobre
a possibilidade de melhorar as aulas de matemática localizando as dificuldades
e os pontos positivos que encaminharão para a conclusão das atividades que
envolvem conteúdos matemáticos e de pesquisas.
A linguagem matemática na resolução
de problemas é, na verdade, o “problema do texto matemático”. Os métodos de
resolução de problemas fazem parte das ferramentas disponíveis para execução
desse trabalho. É conveniente saber a linguagem matemática para poder planejar
os passos que se darão à resolução. O método de Polya, mostrado com
objetividade nesse texto, é eficaz, pois mostra organicidade, confiança,
objetivo específico, estratégia, missão e avaliação. Através do método, é
possível compreender a linguagem ali contida. A dificuldade que um estudante
enfrenta, é quando não consegue descobrir a linguagem matemática no texto,
pressupõe que o texto está confuso, mas sua clareza está em descobrir os
códigos de informações que estão contidos ali.
A composição de uma situação envolve
fatos comuns da sociedade, casos que são perceptíveis por cada pessoa, mas o
saber matemático é primoroso, porque não se sabe um conteúdo sem antes possuir
habilidades específicas. A álgebra possui elementos estruturais em seus
conteúdos, que são reconhecidos pelos estudantes através da relação
professor/pesquisa, isto é, o aluno aprende com o professor e sai a campo,
executando uma tarefa primorosa.
Os elementos ocultos, como
incógnitas, variáveis, termos algébricos, grupos, possuem linguagens
específicas, as letras como símbolos enlouquecem os calouros, produzindo uma
situação impossível de ser executada. Dessa maneira, a demora em achar a
solução de um problema é o desconhecimento das linguagens do texto. Assim,
conhecer e ter habilidade são essenciais para o trabalho do cotidiano nos
negócios das pessoas.
Os diversos tipos de problemas
presentes na vida das pessoas podem ser identificados de acordo com as
circunstâncias vividas por elas. A composição desses problemas apresenta o modo
em que cada indivíduo se comporta na sociedade. A matematização dessas
situações, dependendo da natureza do objeto, pode ser difícil ou fácil. Os
tipos de problemas que existem, são considerados pelas pessoas como algo interessante,
mas ao mesmo tempo dificultoso. Na engenharia, medicina, comércio, indústria,
fazenda, ruas, lojas e shoppings, estão presentes fatos, cuja problematização,
somente através da habilidade para encontrar a solução que seja esperada.
Em todos os lugares encontraremos
matemática, até mesmo nos locais mais distantes da presença humana, ali estarão
situações em que a lógica, a estimativa e a suposição encontram constante
atuações. Os problemas ensinados na escola para alunos de matemática das séries
iniciais têm objetivos para fazer raciocinar. Encontramos também, nos anos
finais Ensino Fundamental, problemas cujos níveis vão além do raciocínio, são
tipos de problemas que envolvem situações reais do dia a dia do homem, assim,
exigem maior organicidade para resolve lo.
O universo dos números é sem dúvida,
alicerce do mundo. Sem a presença deles seria impossível construir e planejar
algo, seja no social, econômico, cultural, escultural, e até mesmo religioso.
Vimos que nesse conjunto mundial, a organização de seus objetos depende dos
números e de sua aplicação. Daí, encontramos diversos tipos de problemas, cuja
linguagem é a mesma, a linguagem matemática.
O objetivo da resolução de um
problema é promover aprendizado e formação contínua na vida do estudante ou de
qualquer outra pessoa. Suas contribuições partem das salas de aulas de
matemática dos anos iniciais, em que a criança descobre um mundo, cuja
contagem, identificação, estimativa e cálculos são próprios da matemática e
está presente na vida de todos. O ato de resolver uma situação problema é
formar intelectualmente um ser habilidoso e encontrar as soluções com
retrospecto do que realizou é receber recompensa durável na formação do aluno.
A formação do aluno quanto aos
conceitos matemáticos, se desenvolvem com a pesquisa. As atividades que ele
realiza em sala de aula prepara seu trabalho que será realizado em casa. A
pesquisa levará o aluno obter melhor aprendizado, pois as contribuições daquilo
que fez e estava certo, estimula cumprir qualquer tarefa.
Portanto, descobriremos através de
nossos próprios esforços, que a Matemática nos ensina resolver nós mesmos,
nossos conflitos e desarranjos, assim descoberto, será possível encontrar
também as soluções de qualquer tipo de problema, cuja linguagem, esteja clara,
oculta ou indeterminada, a organização metódica nesse trabalho valerá a pena. A
linguagem matemática na resolução de problemas está presente em diferentes
contextos do cotidiano das pessoas. Assim, encontrar uma
situação problema nesse universo científico é de extrema facilidade, conquanto
é importante o conhecimento matemático, e a aprendizagem se dará através de si
mesmo e do mestre que media esse conhecimento.
APRENDER +. Caderno do Estudante. Volume 2, 2018.
BAGNO,
Marcos. Língua materna: letramento,
variação e ensino/Marcos Bagno, Gilles Gagné, Michael Stubbs. 1ed. São
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BERLINGHOFF
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Roberto Luiz. Didática da Resolução de
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séries – Para estudantes do curso de Magistério e professores do 1º grau. 12ed.
São Paulo: Ática, 2007. (Série Educação).
ENTRE
JOVENS. 1ª série do Ensino Médio. Guia do aluno matemática vol. II. São
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quarto ciclos do ensino fundamental: introdução aos parâmetros curriculares
nacionais / Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.
POLYA,
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Um novo aspecto do método matemático. 2ed. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
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Fausto Arnaud. Jornadas.mat – Matemática
8º ano. 1ed. São Paulo. São Paulo. Saraiva, 2012.
VYGOTSKY,
Lev Semenovich. A Construção do Pensamento e da Linguagem. Tradução
Paulo Bezerra. 1ed. São Paulo: Martins Fontes, 2000.
[1]
Marcos Bagno nascido em
Cataguases Minas Gerais em 21/08/1961. Professor, escritor, filologista e linguista.
Autor dos trabalhos literários: Gramática de bolso do português brasileiro;
Preconceito linguístico: o que é, como se faz.
[2] Luiz
Roberto Dante nasceu em 05 de outubro de 1943, em São Pedro – SP, Licenciado em
Matemática pela FFCL – Rio Claro SP; Mestre em Matemática Pura pela USP; Doutor
em Psicologia da Educação: Ensino de Matemática – PUC SP.
[3]
George Polya, nasceu em 13 de dezembro de 1887 em Budapeste, Hungria.
Foi professor de Matemática de 1914 a 1940 no ETH Zürich na Suíça e de 1940 a 1953
na Stanford University, onde permaneceu como professor emérito até o fim de sua
carreira. Morreu em 07.09.1985, Palo Alto, Califórnia, EUA.
[4]
Lev Semenovich Vygotsky (1896 – 1934). Lev Vygotsky foi um psicólogo
bielo-russo que realizou diversas pesquisas na área do desenvolvimento da
aprendizagem e do papel preponderante das relações sociais nesse processo, o
que originou uma corrente de pensamento denominada Sócio Construtivismo. Lev
Vygotsky faleceu em Moscou, Rússia, no dia 11 de junho de 1934. (Fonte:
eBiografia).
[5] Ricardo
Bianconi possui graduação em Engenharia Eletrônica pela Universidade de São
Paulo (1982), mestrado em Matemática pela Universidade de São Paulo (1986) e
doutorado em Matemática pela University of Oxford, Inglaterra, (1990). Atualmente
é professor titular da Universidade de São Paulo. Tem experiência na área de
Matemática, com ênfase em Lógica Matemática, atuando principalmente nos
seguintes temas: teoria de modelos, com ênfase em o-minimalidade, geometria e
funções analíticas reais. Coordenou o mestrado profissional em ensino da
matemática do IME-USP de 2012 a 2016.
[6] É professor visitante de
matemática no Colby College, em Waterville, Maine. Estudou no Holy Cross, no
Boston College e na Wesleyan University, onde obteve doutorado em Matemática.
Foi também um sênior writer (um autor principal para o MATH Connections, um
currículo central padrão para o ensino médio.
[7] Nasceu no Brasil e estudou na
Universidade de São Paulo e na Harvard University, onde obteve seu doutorado em
Matemática. É professor de matemática no Colby College, onde leciona, entre
outras coisas, uma disciplina sobre a história da matemática.
[8] Fausto Arnaud Sampaio. Licenciado
em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (Unicamp – SP).
Especialista em Educação Matemática pela Universidade estadual de Campinas
(Unicamp – SP) e professor da rede pública de ensino.
[9] Jornalista
desde 1994, trabalho desde 2003 na cobertura de ciência, meio ambiente e saúde.
Trabalhou por 3 anos como repórter de ciência no portal da USP, por 6 anos como
editor da Agência FAPESP e por 4 anos como repórter de ciência do jornal O
Estado de S. Paulo.
[10] Thomas
Carlyle. (04/12/1795 – 05/02/1881). Foi um escritor, historiador, comentarista
social e ensaísta e professor escocês.
[11] Material
realizado pelo Instituto Unibanco no ano de 2013, para as séries de Matemática
do Ensino Médio.
[12] Bolsa Família: Condicionalidades – Ao
ingressar no programa, os usuários devem estar atentos às chamadas
condicionalidades do Bolsa Família, que são compromissos assumidos pelos
beneficiários e pelo poder público para a superação da pobreza. Na área da
educação, crianças e adolescentes com idades entre 6 e 15 anos devem
ter, no mínimo, 85% de presença nas aulas. Para jovens de 16 a 17
anos, a frequência mínima exigida é de 75%.
[13]
Segundo a Matriz do Pisa 2012, o “letramento matemático é a capacidade individual
de formular, empregar e interpretar a matemática em uma variedade de contextos.
Isso inclui raciocinar matematicamente e utilizar conceitos, procedimentos,
fatos e ferramentas matemáticas para descrever, explicar e predizer fenômenos.
Isso auxilia os indivíduos a reconhecer o papel que a matemática exerce no
mundo e para que cidadãos construtivos, engajados e reflexivos possam fazer
julgamentos bem fundamentados e tomar as decisões necessárias.”. Disponível em:
<http://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/marcos_referenciais/2013/matriz_avaliacao_matematica.pdf>.
Acesso em: 17 ago. 2019.
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